Jacobian矩阵简单阐述

简单阐述

设 是一个函数，它的输入是向量 ，输出是向量 : \[ \left\{\begin{array}{l} y_{1}=f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ y_{2}=f_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ \cdots \\ y_{m}=f_{m}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \end{array}\right. \] 那么雅克比矩阵就是一个 m x n 的矩阵: \[ \mathbf{J}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{n}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right] \] 由于矩阵描述了向量空间中的运动——变换，而雅可比矩阵看作是将点 转化到点 ，或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空间。

也就是说雅克比矩阵就是表述了两组不同维变量之间的变换

如果m = n， 可以定义雅可比矩阵 的行列式，也就是雅可比行列式（Jacobian determinant）

在微积分换元中，也就是给出了 从x到y的n维体积的比率 \[ \mathrm{dy}_{1} \ldots \mathrm{dy}_{\mathrm{n}}=|\mathrm{J}| \mathrm{d} \mathrm{x}_{1} \ldots \mathrm{d} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \]

几何解释

雅克比行列式

这里用二元的情况来阐述一下雅克比行列式的情况

设 ，雅可比行列式是： \[ \mathbf{J}=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|=\left|\begin{array}{ll} x_{u} & x_{v} \\ y_{u} & y_{v} \end{array}\right| \]

如图所示：dA代表dx和dy张成的平行四边形的面积，如果du和dv充分接近于0，那么dA： \[ d A=d x d y=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| d u d v \]

雅克比矩阵

关于雅克比矩阵的几何意义，这篇视频教程讲的很清楚